Maxima导引
来自Ubuntu中文
来源：http://blog.chinaunix.net/u/20/showart_172159.html
作者：win_hate
Maxima: http://wiki.ubuntu.org.cn/Maxima
函数
定义函数
注意函数使用的符号是 :=
一元函数
f(x):=expr;
例子：
(%i1) f(x):= 1+x; (%o1) f(x) := 1 + x (%i2) f(2); (%o2) 3
多元函数
f(x,y):=expr;
例子：
(%i3) f(x,y):=y^2+x^2;
2 2
(%o3) f(x, y) := y + x
(%i4) f(2,3);
(%o4) 13
初等函数
- 幂函数： x^2, x^(-1/2),...
- 指数函数：2^x, (1/2)^x, exp(x), %e^x...
- 在 maxima 中，常数e=2.718281828459045被记为：%e. 所以指数函数 e^x 在 maxima 中被表示为:%e^x
由于这个函数的重要性，它有一个专门的记法：exp(x).
(%i2)f(x) := %e^x;
x
(%o2) f(x) := %e
(%i3)g(x) := exp(x);
(%o3) g(x) := exp(x)
(%i4)expand(f(x) - g(x));
(%o4) 0
- 对数函数：log(x)
- 在 maxima 中，log(x) 就是自然对数，即以 e 为底的对数，数学上常记为 ln(x)。maxima 没有其它形式的对数，要使用以 10 或 2 为底的对数，只能使用换底公式。如果把下面的代码放到 ~/.maxima/maxima-init.mac 中，则 maxima 在运行时会加载自定义函数 log10、log2，并把 ln 定义为 log。这样就可以使用 log10、log2 和 ln 了。
log10(x):=log(x)/log(10); log2(x):=log(x)/log(2); ln:log;
- 三角函数：sin, cos, tan, cot, sec, csc
- 在 maxima 中，pi=3.141592653589793 被记为 %pi.
- 反三角函数：asin, acos, atan, acot, asec, acsc
分段函数
f(x)= x-1, x<0
0, x=0
x+1, x>0
(%i2) f(x) := if x < 0 then x - 1 else (if x = 0 then 0 else 1 + x); (%o2) f(x) := if x < 0 then x - 1 else (if x = 0 then 0 else 1 + x) (%i3) f(- 1); (%o3) - 2 (%i4) f(0) (%o4) 0 (%i5) f(1) (%o5) 2
极限
求极限的命令为：
limit (expr, var, val, direction);
expr 是要求极限的表达式； var 是变量名； val 指定在何处取极限；direction 是方向，可以是 plus 和 miuns，分别指右极限和左极限。
例子:
(%i2)limit (sin(x)/x, x, 0); (%o2) 1 (%i3)limit (tan(x), x, %pi/2); (%o3) und (%i4)f:diff(abs(x), x); (%i5)limit(f, x, 0, plus); (%o5) 1 (%i6)limit(f, x, 0, minus); (%o6) -1
其中 und 表示极限不存在。
如果要取无穷处的极限，可以用常数 inf, minf。前者表示正无穷，后者表示负无穷。
(%i1) limit (1/x, x, inf); (%o1) 0 (%i2) limit (atan(x), x, inf); (%o2) %pi/2 (%i3) limit (atan(x), x, minf); (%o3) -%pi/2
导数
求导数：
diff(expr, var)
例子：
(%i1) diff(sin(x),x);
(%o1) cos(x)
(%i2) diff(f(x)*g(x),x);
d d
(%o2) f(x) (-- (g(x))) + g(x) (-- (f(x)))
dx dx
求高阶导数：
diff(expr, var, n)
例子：
(%i3)diff(sin(x),x, 2);
(%o3) - sin(x)
(%i4) diff(f(x)*g(x),x,3);
3 2
d d d
(%o4) f(x) (--- (g(x))) + 3 (-- (f(x))) (--- (g(x)))
3 dx 2
dx dx
2 3
d d d
+ 3 (--- (f(x))) (-- (g(x))) + g(x) (--- (f(x)))
2 dx 3
dx dx
集合
集合定义
maxima 似乎只支持有限集。建立集合的方式是列举。
- set(a_1, ..., a_n)
- n 个元素的集合
- {a_1, ..., a_n}
- 同上
- setify(foo)
- list->set
- 把列表 foo 转换为集合
- fullsetify(foo)
- 把列表 foo 转换为集合, 对列表的列表元素递归调用 fullsetify。列表的列表元素指的是：列表的一个元素，本身又是一个列表。
例子：
(%i2) A : set(1, 2, 3)
(%o2) {1, 2, 3}
(%i3) B : {a, b, c}
(%o3) {a, b, c}
(%i4) C : {}
(%o4) {}
(%i2) setify([a, b, c])
(%o2) {a, b, c}
(%i3) setify([a, b, [1, 2], [a, b, c]])
(%o3) {[1, 2], a, [a, b, c], b}
(%i2) fullsetify([a, b, [1, 2], [a, b, c]])
(%o2) {{1, 2}, a, {a, b, c}, b}
元素与集合
- elementp(x,y)
- 判断 x 是否集合 S 的元素
- adjoin(x, S)
- 返回集合 {t | (t in S) or t = x} 即返回把 x 添加到 S 中得到的集合，但 S 本身并不改变。
- disjoin(x, S)
- 返回把 x 从集合 S 中去除后的集合，S 本身并不改变。
例子：
(%i2) A : {a, b, c}
(%o2) {a, b, c}
(%i3) elementp(a, A)
(%o3) true
(%i4) elementp(d, A)
(%o4) false
# 把 d 添加到 A 中
(%i5) adjoin(d, A)
(%o5) {a, b, c, d}
# A 并未改变，d 不是 A 的元素
(%i6) elementp(d, A)
(%o6) false
# 把 d 添加到 A 中，并把得到的集合赋值给 A
(%i7) A : adjoin(d, A)
(%o7) {a, b, c, d}
(%i8) elementp(d, A)
(%o8) true
(%i9) A : disjoin(a, A)
(%o9) {b, c, d}
(%i10) elementp(a, A)
(%o10) false
集合运算
- emptyp(S)
- 判断 S 是否空集
- intersection(A, B)
- 交
- intersect(A, B)
- 同上，似乎无任何区别
- union (A, B)
- 并
- setdifference(A, B)
- 差，余。 A\B
- symmdifference(A,B)
- 对称差
- subsetp(A,B)
- 判断 A 是否 B 的子集
- subset(A, f)
- 返回集合 {x | (x in A) and (f(x)=true)} f 必须是谓词函数，也即其值域为 {true, false}。
- subset (A, f)
- 返回一个 A 的一个子集合，由 A 中满足 f 的元素全体组成。
- powerset(A)
- 返回 A 的全部子集合构成的集合。
- powerset(A,n)
- 返回 A 的大小为 n 的子集构成的集合。
- cartesian_product(A,B)
- 返回 A, B 的笛卡尔积(直积)。
- cardinality
- 返回集合 A 的大小|A|。
- disjointp(A,B)
- 若集合 A, B 相交，则返回 false，否则返回 true。
例子：
(%i2) A : {a, b, c}
(%o2) {a, b, c}
(%i3) B : {b, c, d}
(%o3) {b, c, d}
(%i4) intersection(A, B)
(%o4) {b, c}
(%i5) intersect(A, B)
(%o5) {b, c}
(%i6) setdifference(A, B)
(%o6) {a}
(%i7) symmdifference(A, B)
(%o7) {a, d}
(%i8) subsetp(A, B)
(%o8) false
(%i9) subsetp(setdifference(B, A), B)
(%o9) true
(%i10) powerset(A)
(%o10) {{}, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {a, c}, {b}, {b, c}, {c}}
(%i11) powerset(A, 2)
(%o11) {{a, b}, {a, c}, {b, c}}
(%i12) cartesian_product(A, B)
(%o12) {[a, b], [a, c], [a, d], [b, b], [b, c], [b, d], [c, b], [c, c], [c, d]}
# 在 Maxima 中，用 % 表示上一条命令的输出，在这里，就是 A 与 B 的直积。
(%i13) cardinality(%)
(%o13) 9
