Maxima导引

来源：http://blog.chinaunix.net/u/20/showart_172159.html

作者：win_hate

Maxima: http://wiki.ubuntu.org.cn/Maxima

函数

定义函数

注意函数使用的符号是 :=

一元函数

f(x):=expr;

例子：

(%i1) f(x):= 1+x;
(%o1) f(x) := 1 + x
(%i2) f(2);
(%o2) 3

多元函数

f(x,y):=expr;

例子：

(%i3) f(x,y):=y^2+x^2;
 2 2
(%o3) f(x, y) := y + x
(%i4) f(2,3);
(%o4) 13

初等函数

幂函数： x^2, x^(-1/2),...;指数函数：2^x, (1/2)^x, exp(x), %e^x...: 在 maxima 中，常数e=2.718281828459045被记为：%e. 所以指数函数　e^x 在 maxima 中被表示为:%e^x

由于这个函数的重要性，它有一个专门的记法：exp(x).

(%i2)f(x) := %e^x;
                                    x
(%o2) f(x) := %e
(%i3)g(x) := exp(x);
(%o3) g(x) := exp(x)
(%i4)expand(f(x) - g(x));
(%o4) 0

对数函数：log(x): 在　maxima 中，log(x) 就是自然对数，即以　e 为底的对数，数学上常记为　ln(x)。maxima 没有其它形式的对数，要使用以 10 或　2 为底的对数，只能使用换底公式。如果把下面的代码放到　~/.maxima/maxima-init.mac 中，则　maxima 在运行时会加载自定义函数　log10、log2，并把　ln 定义为　log。这样就可以使用　log10、log2 和　ln 了。

log10(x):=log(x)/log(10);
log2(x):=log(x)/log(2);
ln:log;

三角函数：sin, cos, tan, cot, sec, csc: 在 maxima 中，pi=3.141592653589793 被记为 %pi.
反三角函数：asin, acos, atan, acot, asec, acsc

分段函数

f(x)= x-1, x<0
 0, x=0
 x+1, x>0

(%i2) f(x) := if x < 0 then x - 1 else (if x = 0 then 0 else 1 + x);
(%o2) f(x) := if x < 0 then x - 1 else (if x = 0 then 0 else 1 + x)
(%i3) f(- 1);
(%o3) - 2
(%i4) f(0)
(%o4) 0
(%i5) f(1)
(%o5) 2

极限

求极限的命令为：

limit (expr, var, val, direction);

expr 是要求极限的表达式； var 是变量名； val 指定在何处取极限；direction 是方向，可以是 plus 和 miuns，分别指右极限和左极限。

例子:

(%i2)limit (sin(x)/x, x, 0);
(%o2) 1
(%i3)limit (tan(x), x, %pi/2);
(%o3) und
(%i4)f:diff(abs(x), x);
(%i5)limit(f, x, 0, plus);
(%o5) 1
(%i6)limit(f, x, 0, minus);
(%o6) -1

其中 und 表示极限不存在。

如果要取无穷处的极限，可以用常数 inf, minf。前者表示正无穷，後者表示负无穷。

(%i1) limit (1/x, x, inf);
(%o1) 0
(%i2) limit (atan(x), x, inf);
(%o2) %pi/2
(%i3) limit (atan(x), x, minf);
(%o3) -%pi/2

导数

求导数：

diff(expr, var)

例子：

 (%i1) diff(sin(x),x);
 (%o1) cos(x)
 (%i2) diff(f(x)*g(x),x);
             d                  d
 (%o2) f(x) (-- (g(x))) + g(x) (-- (f(x)))
             dx                 dx

求高阶导数：

diff(expr, var, n)

例子：

 (%i3)diff(sin(x),x, 2);
 (%o3) - sin(x)
 (%i4) diff(f(x)*g(x),x,3);
              3                            2
             d                d           d 
 (%o4) f(x) (--- (g(x))) + 3 (-- (f(x))) (--- (g(x)))
               3              dx            2
             dx                           dx
                                     2                               3
                                    d            d                  d
                               + 3 (--- (f(x))) (-- (g(x))) + g(x) (--- (f(x)))
                                      2          dx                   3
                                    dx                              dx

集合

集合定义

maxima 似乎只支持有限集。建立集合的方式是列举。

set(a_1, ..., a_n): n 个元素的集合
{a_1, ..., a_n}: 同上
setify(foo): list->set; 把列表 foo 转换为集合
fullsetify(foo): 把列表 foo 转换为集合, 对列表的列表元素递归调用 fullsetify。列表的列表元素指的是：列表的一个元素，本身又是一个列表。

例子：

(%i2) A : set(1, 2, 3)
(%o2) {1, 2, 3}
(%i3) B : {a, b, c}
(%o3) {a, b, c}
(%i4) C : {}
(%o4) {}

(%i2) setify([a, b, c])
(%o2) {a, b, c}
(%i3) setify([a, b, [1, 2], [a, b, c]])
(%o3) {[1, 2], a, [a, b, c], b}

(%i2) fullsetify([a, b, [1, 2], [a, b, c]])
(%o2) {{1, 2}, a, {a, b, c}, b}

元素与集合

elementp(x,y): 判断 x 是否集合 S 的元素
adjoin(x, S): 返回集合 {t | (t in S) or t = x} 即返回把 x 添加到 S 中得到的集合，但 S 本身并不改变。
disjoin(x, S): 返回把 x 从集合 S 中去除後的集合，S 本身并不改变。

例子：

(%i2) A : {a, b, c}
(%o2) {a, b, c}
(%i3) elementp(a, A)
(%o3) true
(%i4) elementp(d, A)
(%o4) false

# 把 d 添加到 A 中
(%i5) adjoin(d, A)
(%o5) {a, b, c, d}

# A 并未改变，d 不是 A 的元素
(%i6) elementp(d, A)
(%o6) false

# 把 d 添加到 A 中，并把得到的集合赋值给 A
(%i7) A : adjoin(d, A)
(%o7) {a, b, c, d}

(%i8) elementp(d, A)
(%o8) true
(%i9) A : disjoin(a, A)
(%o9) {b, c, d}
(%i10) elementp(a, A)
(%o10) false

集合运算

emptyp(S): 判断 S 是否空集
intersection(A, B): 交
intersect(A, B): 同上，似乎无任何区别
union (A, B): 并
setdifference(A, B): 差，馀。 A\B
symmdifference(A,B): 对称差
subsetp(A,B): 判断 A 是否 B 的子集
subset(A, f): 返回集合 {x | (x in A) and (f(x)=true)} f 必须是谓词函数，也即其值域为 {true, false}。
subset (A, f): 返回一个 A 的一个子集合，由 A 中满足 f 的元素全体组成。
powerset(A): 返回 A 的全部子集合构成的集合。
powerset(A,n): 返回 A 的大小为 n 的子集构成的集合。
cartesian_product(A,B): 返回 A, B 的笛卡尔积(直积)。
cardinality: 返回集合 A 的大小|A|。
disjointp(A,B): 若集合 A, B 相交，则返回 false，否则返回 true。

例子：

(%i2) A : {a, b, c}
(%o2) {a, b, c}
(%i3) B : {b, c, d}
(%o3) {b, c, d}
(%i4) intersection(A, B)
(%o4) {b, c}
(%i5) intersect(A, B)
(%o5) {b, c}
(%i6) setdifference(A, B)
(%o6) {a}
(%i7) symmdifference(A, B)
(%o7) {a, d}
(%i8) subsetp(A, B)
(%o8) false
(%i9) subsetp(setdifference(B, A), B)
(%o9) true
(%i10) powerset(A)
(%o10) {{}, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {a, c}, {b}, {b, c}, {c}}
(%i11) powerset(A, 2)
(%o11) {{a, b}, {a, c}, {b, c}}
(%i12) cartesian_product(A, B)
(%o12) {[a, b], [a, c], [a, d], [b, b], [b, c], [b, d], [c, b], [c, c], [c, d]}
# 在 Maxima 中，用 % 表示上一条命令的输出，在这里，就是 A 与 B 的直积。
(%i13) cardinality(%)
(%o13) 9