Maxima简介2

原文地址：http://docs.huihoo.com/homepage/shredderyin/maxima.html

作者：王垠

整理：dbzhang800

(依据最新版Maxima对部分内容做了改动)

Maxima: http://wiki.ubuntu.org.cn/Maxima

简介

MAXIMA 是完全可以跟 Mathematica 和 Maple 比美的 CAS。实际上 Mathematica 和 Maple 的很多优点都是从 MACSYMA 身上学来的。

严密的逻辑

Maple 和 Mathematica 经常做错的东西，MACSYMA 经常会给你一个合理的答复。当然它也会做错。小心！计算机代数系统给出的答案都有可能是错误的，不能完全依赖它们。

你可以试试积分： integrate(x^i,x) 和 integrate 1/sqrt(2-2*cos(x)) from x=-pi/2 to pi/2。 Mathematica 4.1 会立即给你一个不完全正确甚至错误的答案。

在这种情况下，MAXIMA 的表现要聪明的多，因为它毕竟有几十年的经验。MAXIMA 缺省是一个非常严密的系统，如果你要积分:

integrate(x^i,x);

MAXIMA 会问你：

Is  i + 1  zero or nonzero?

这是因为现在我们不知道 i 是否等于 -1。如果 i=-1, 那么这个积分应该等于 LOG(x)，其中 LOG 是 MAXIMA 的自然对数符号。如果 i 不等于 -1，那么积分应该等于

                                i + 1
                               x
                               ------
                               i + 1

这样每次都要问你有时很麻烦，你也可以告诉它，没有特殊指明的情况下，假设积分里的符号都是正数：

assume_pos: True;

它以后遇到 integrate(x^i,x); 就会直接给你

                                i + 1
                               x
                               ------
                               i + 1

而不会再问你问题了。

方便的推理

不仅严密，而且 MAXIMA 有比 Mathematica 和 Maple 方便的推理系统。你跟 MAXIMA 就像在对话：

看看这个例子： 如果A>=B, B>=C, C>=A, 那么 A=C 吗？

(%i1) assume(A>=B, B>=C);

(%o1) [A >= B, B >= C]
(%i2) assume(C>=A);
 
(%o2) [C >= A]
(%i3) is(equal(A,B));

(%o3) true

另一个例子: 如果 x>y, 那么x^2 >y^2 吗？

(%i4) assume(x>y);
 
(%o4) [x > y]
(%i5) is(x^2>=y^2);
(%o5) unknown

MAXIMA 告诉你答案不确定，因为 x,y 的符号未知。 现在你告诉它 x 和 y 都是正数：

(%i6) assume(x>0, y>0);
 
(%o6) [x > 0, y > 0]
(%i7) is(x^2>y^2);
 
(%o7) true

这下它告诉你答案了。

它可以根据一些事实来化简式子。我们有这样一个复杂的式子：

(%i11) EXP:-K^2*L^2*M^2*N^2-K^2*L^2*N^2+K^2*M^2*N^2+K^2*N^2
          2 2 2 2   2 2 2   2 2 2   2 2
(%o11) - K L M N + K M N - K L N + K N

我们还有两个简单的事实：

(%i12) EQ1:L^2+K^2 = 1
        2   2
(%o12) L + K = 1
(%i13) EQ2:N^2-M^2 = 1
        2    2
(%o13) N - M = 1

让它根据这两个事实化简第一个式子：

(%i14) scsimp(EXP,EQ1,EQ2)

得到一个很简单的答案：

        4 4
(%o14) K N

抽象代数

在你还没有函数的定义时，你就可以声明这个函数的一些性质。这样你可以在很多时候大大简化结果。比如，你可以声明一个函数是奇函数：

(%i1) declare(F,oddfun);
     
(%o1)                                 done
(%i2) F(-A);
(%o2)                                -F(A)

F(-A) 以后简化时就可以被当成 -F(A)。你再声明 F(X) 是 OUTATIVE:

(%i5) declare(F,outative);
     
(%o5)                                 done
(%i6) F(3*A);
     
(%o6)                                3 F(A)

这样，F(3a) 可以被当成 3F(a)。综合以上两个事实，我们可以得到：

(%i7)  F(-A)+F(2*A)-F(A);
     
(%o7)                                   0

如果你告诉 MAXIMA，n 是一个整数，那么它就知道 sin(n pi) = 0.

(%i1) declare(n,integer);
(%o1)        done
(%i2) sin(n*%pi);
(%o2)         0

你甚至可以定义自己的操作符，它可以有中缀，前缀，后缀，nary等各种方式，可以有任意的优先级，可以设定它是左结合还是右结合。比如我们来定义一个NARY操作 "&"，它的优先级是180（缺省），它是右结合的。

(%i6) nary("&");
     
(%o6)                                  "&"
(%i7) declare("&",passociative);
     
(%o7)                                 done
(%i8) x&y&a&b;
     
(%o8)                          x & (y & (a & b))

超强的扩展能力

另外，MAXIMA 是可以用自己的语言或者 LISP 进行扩展的。比如你可以用 recur 包来推导递推关系：

(%i8) load(recur);
       
(%o8)          /usr/share/maxima/5.9.0rc3/share/algebra/recur.mac

现在我们来解一个“快速排序”的时间复杂度分析里出现的简单的递推关系：

     T(0)=0
     T(N)=2*T(N-1)+1

这样输入到 MAXIMA:

(%i14) char(T(N+1)-2*T(N),1,T,N,1,[T(0)=0]);

                                          N
(%o14)                            T(N) = 2  - 1

这个 recur 实际上只是一个200多行的小程序，就可以帮你处理线性递推关系， 生成函数……

MAXIMA 有函数式的程序语言，它比通常的过程式语言要强大的多。你甚至可以接触到它底层的 LISP。Mathematica 的语法就是跟 MACSYMA 学来的。

MAXIMA 完全是用 LISP 语言写的，所以它继承了 LISP 语言天生的特征。它分为上下两层，上面一层叫做 MAXIMA level，下面一层叫做 LISP level。上下两层是相通的，如果你懂得 LISP，你可以随时按 Ctrl-C 进入到 LISP 的环境，定义一个函数，然后退回到 MAXIMA 层调用那个函数。当然在 LISP level 还有很多工作可以做。你也可以在 MAXIMA level 定义了函数，然后在 LISP level 进行调用。