Maxima在线性代数的应用

作者:蔡炎龍

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简介

这篇文章,是介绍Maxima 这套数学软件,在学习线性代数的应用。

Maxima 是一个所谓的「电脑代数系统」(Computer Algebra System, CAS),这种系统比较为人熟知的还有Mathematica 和Maple 等等。我们选定Maxima 做为我们使用的程序,主要有三个原因:

免费 

Maxima 是免费,又是各平台都有的。所有的人可以在自己的电脑上练习。

功能完整 

Maxima 虽然不要钱,并不代表不好。Maxima 不论计算或图形功能都十分完整。事实上,Maxima 是最早的全功能CAS 系统Macsyma 的后代。

具代表性 

许多新的CAS 系统,如Maple, Mathematica 都多少受到Macsyma 的启发。所以学会Maxima,要学会Maple 或Mathematica 等软件都是很容易的事。

这篇文章主要是介绍线性代数相关功能。我们不假设同学已会基本的Maxima 使用方式,所以我们会用到的概念,也许不纯粹是线性代数的,也会一并介绍。专就线性代数而言,我们要会的其实并不多。想要快速进入状况,可以跳过前面的部份,直接看线性代数相关指令,在操作上有问题时,再回头看有问题部份的相关说明即可。

如果同学们比较喜欢使用Mathematica,Maple,或是Matlab 等商业软件也是可以的。我们系上的电脑室有提供这些软件,可以上机试用看看。

基本概念

我们先介绍一下Maxima 操作的方式。

Maxima 当计算器

我们先来看,如果我们要把Maxima 当计算器用,会是什么情况?

(%i1) 1+1;                                                                   
(%o1)                                  2
(%i2) 3*4*7;
(%o2)                                 84
(%i3) 9/3;
(%o3)                                  3

到目前为止,似乎还没什么特别。除了可以做复杂一点点的运算,和平常的计算机或数值计算软件也没什么不同。以下的例子就不一样了:

(%i4) 7/3;
                                       7
(%o4)                                  -
                                       3
(%i5) 1/2+2/3;
                                       7
(%o5)                                  -
                                       6

从(%o4)我们看到,7/3这种运算,Maxima 不是告诉我们2.3333...,而是分数的形式!难道Maxima 真的懂分数?不要怀疑,这就是所谓电脑代数系统(CAS) 的特长。我们可以像(%o5)的例子一样,输入个分数的四则运算试试即知。

如果坚持要用浮点数,那只要加个float 指令即可:

(%i6) float(7/3);
(%o6)                          2.333333333333334

为了完整,我们顺便再介绍指数,根号,阶乘表示法:

(%i7) 2^10;
(%o7)                                1024
(%i8) sqrt(9);
(%o8)                                  3
(%i9) 5!;

我们可以看出,这些运算不是自然的数学符号,就是和我们平常电脑程序语言的写法。

指令结尾

在上面的例子中,我们发现,在Maxima 下指令,结束时一定要打上分号「;」,让Maxima 知道我们下的指令已结束。为什么要多这一个动作,主要是为了有时打比较长的指令可以换行之故。另一个结束方式是打入「$」的符号。不同於分号的地方是「运算结果不会显示出来」:

(%i10) 2+3$

(%i11) 2+3;
(%o11)                                 5

有一些CAS 程序,如Matehmatica 是用分号表示不显示运算结果。不过Maxima 中分号已用上,必需用其他字符。

离开Maxima

离开Maxima 打入“quit();” 即可。

当然,很多人可能会觉得奇怪,为什么不是打入“quit” 就好了呢?原来像这种程序导向的语言,什么动作其实都是执行一个函数。所以我们事实上是执行一个叫「离开」的函数。这函数没有参数,所以就成了quit() 的形式。

结果的引用

我们时常会需要引用前面的结果,这时就用百分比符号“%” 。比方说:

(%i12) 7/3;                                                                  
                                       7
(%o12)                                 -
                                       3
(%i13) float(%);
(%o13)                         2.333333333333334

Maxima 也可以指定使用第几个输出的结果,不过自己定一个标签可能是最好的方式。比方说,我们可以这样用:

(%i14) myresult:34+(65*72)/119;
                                     8726
(%o14)                               ----
                                     119
(%i15) float(myresult);
(%o15)                         73.32773109243698

重要常数

Maxima 当然有内建e 或是π 常常用到的数,只是表示法奇怪一点。e 是%e 而π 是%pi 。

定义变量

Maxima定义变量的想法有点特别,在定义一个变数时,其时是给某个数字、矩阵,或想要定义的任何式子等等一个标签。让我们来看几个例子:

(%i16) a: 37;
(%o16)                                37
(%i17) a;
(%o17)                                37
(%i18) b: 22+100*(375-128);
(%o18)                               24722
(%i19) a+b;
(%o19)                               24759

函数

Maxima 函数的定义和使用非常直觉,我们看几个例子就知道:

(%i20) f(x) := 3*x^2+5;
                                          2
(%o20)                         f(x) := 3 x  + 5
(%i21) f(2);
(%o21)                                17
(%i22) g(x, y) := sin(x)*cos(y);
(%o22)                     g(x, y) := sin(x) cos(y)
(%i23) g(2*%pi, 4);
(%o23)                                 0

重点就是,在定义函数时要用“:=” 去定义。比较一下和变数定义的不同,想想为什么要有两种不一样的定义方式。