Maxima简介：修订间差异

2013年10月3日 (四) 13:57的最新版本

作者：Richard H. Rand

翻译：dbzhang800

Maxima: http://wiki.ubuntu.org.cn/Maxima

简介

在linux中运行Maxma,键入

maxima <回车>

计算机将显示如下的欢迎词:

Distributed under the GNU Public License. See the file COPYING.
Dedicated to the memory of William Schelter.
This is a development version of Maxima. The function bug_report()
provides bug reporting information.
(%i1)

此处(%i1) 是一个“标签”。每一个输入或输出行都贴有一个标签，每一行都可以在随后的会话中通过标签被调用。标签i代表该行是你输入的命令，标签o代表该行为机器的响应。永远不要尝试使用形如 %i1 或 %o5 的变量名，那将会和采用该标签的行相混淆。 Maxima 对字符的大小写是敏感的。所有内建函数的函数名都是小写的 (sin, cos, save, load,等)。内建的常数采用小写形式 (%e, %pi, inf, 等)。如果你键入 SIN(x) 或者 Sin(x)， Maxima 认为你指代其他的函数而不是内建的 sin 函数。用户自定义函数和变量可以采用大写或小写的形式。 foo(XY), Foo(Xy), FOO(xy) 是不同的函数。

特殊键和符号

要结束一个Maxima会话，键入 quit();.
要终止一次计算而不退出Maxima，键入 ^C。 (这儿 ^ 代表Ctrl键，因此 ^C 意味着先按住Ctrl键，然后再按下C。）了解这一点在有些情况下对你是很重要的，比如，在一次计算需要耗费太长时间的时候。举例如下：

(%i1) sum (1/x^2, x, 1, 10000);

Maxima encountered a Lisp error:


Console interrupt.

Automatically continuing.
To reenable the Lisp debugger set *debugger-hook* to nil.
(%i2)

要告诉Maxima你已经完成了命令的输入，键入分号(;)并回车。注意到单独一个回车并不代表输入的结束。
另一个可以代替分号 (;) 的终止符是一个美元符号($)，而且，它可以取消 MAXIMA 计算结果的显示，当你在进行一次有着很长结果的计算，并且你不想浪费时间显示结果的时候，这会很有用。
如果你想重复一条你已经给出的命令，比如说在 (%i5) 行，你可以在上述的行号前加两个单引号 (") 的方法来避免再次输入，比如， %i5。（注是简单地输入 %i5 并不能实现这种效果──试试吧。）
如果你想引用Maxima上一步计算的结果，你可以用它的 o 标签，也可以使用专门的百分号(%)。
标准量 e (自然对数的底数)，i (-1 的平方根) 和 p (3.14159?) 分别表示成 %e，%i, 和 %pi。注意这里% 只是作为一个前缀使用, 与用 % 来查询先前计算结果的用法完全无关。
为了把一个值赋给一个变量，Maxima使用冒号 (:)，而不是等号。等号被用来表示方程或等式。

算术

常见的算术操作符有:

+ 加法
- 减法
* 标量乘法
/ 除法
^或 ** 指数
. 矩阵乘法
sqrt(x) x的平方根

Maxima输出的特点是严格的算术（有理）运算。例如：

(%i1) 1/100 + 1/101;
                               201
(%o1)                         -----
                              10100

如果计算中涉及无理数，它们将保持符号形式：

(%i2) (1 + sqrt(2))^5;

                                 5
(%o2)                    (sqrt(2) + 1)
(%i3) expand (%);
(%o3)                    29 sqrt(2) + 41

尽管如此,将计算结果用小数显示出来往往是有用的。这可以通过在你想要展开的表达式后面加上“ ,numer” 来实现。

(%i4) %, numer;
(%o4)                   82.01219330881976

注意在这里使用了% 来引用上一步的结果. 在这个版本的 Maxima 里, numer 给出 16 位的有效数字, 但最后一位往往是不可靠的. 尽管如此, Maxima 可以通过使用 bfloat函数来提供任意高的的精度：

(%i5) bfloat (%o3);
(%o5)                  8.201219330881976B1

显示的有效数字的位数由Maxima的变量fpprec控制，它的缺省值是16：

(%i6) fpprec;
(%o6)                          16

在这儿我们重置 fpprec 以产生100个有效数字：

(%i7) fpprec: 100;
(%o7)                          100
(%i8) %i5;
(%o8) 8.20121933088197564152489730020812442785204843859314941221#
2371240173124187540110412666123849550160561B1

注意在(%i8)中用两个单引号()来重复命令 (%i5)。Maxima可以处理非常大的数而不用近似值：

(%i9) 100!;
(%o9) 9332621544394415268169923885626670049071596826438162146859#
2963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251#
185210916864000000000000000000000000

代数

当我们看到 MAXIMA 在代数上的便利后，作为一个使符号运算的计算机工具，它的重要性就变得更明显了。这里有一个分解多项式的例子：

(%i1) (x + 3*y + x^2*y)^3;
                          2             3
(%o1)                   (x  y + 3 y + x)
(%i2) expand (%);
       6  3      4  3       2  3       3      5  2       3  2
(%o2) x  y  + 9 x  y  + 27 x  y  + 27 y  + 3 x  y  + 18 x  y
                                         2      4        2      3
                                 + 27 x y  + 3 x  y + 9 x  y + x

现在假定我们想把上面表达式中的 x用 5/z 替代：

(%i3) %o2, x=5/z;
           2        3                 2               3
      135 y    675 y    225 y   2250 y    125   5625 y    1875 y
(%o3) ------ + ------ + ----- + ------- + --- + ------- + ------
        z         2       2        3       3       4         4
                 z       z        z       z       z         z
                                             2          3
                                       9375 y    15625 y        3
                                     + ------- + -------- + 27 y
                                          5          6
                                         z          z

Maxima 内建函数ratsimp 用来进行通分操作：

(%i4) ratsimp (%);
           3  6        2  5         3           4
(%o4) (27 y  z  + 135 y  z  + (675 y  + 225 y) z
          2         3          3            2         2
 + (2250 y  + 125) z  + (5625 y  + 1875 y) z  + 9375 y  z
          3   6
 + 15625 y )/z

表达式也可以使用factor进行因式分解：

(%i5) factor (%);
                           2              3
                     (3 y z  + 5 z + 25 y)
(%o5)                ----------------------
                                6
                               z

Maxima可以求解非线性代数方程系统的精确解。在这个例子中，我们使用函数solve解一个三元方程组，三个未知数分别为 a, b, c：

(%i6) a + b*c = 1;
(%o6)                      b c + a = 1
(%i7) b - a*c = 0;
(%o7)                      b - a c = 0
(%i8) a + b = 5;
(%o8)                       b + a = 5
(%i9) solve ([%o6, %o7, %o8], [a, b, c]);
            25 sqrt(79) %i + 25      5 sqrt(79) %i + 5
(%o9) [[a = -------------------, b = -----------------, 
            6 sqrt(79) %i - 34       sqrt(79) %i + 11
    sqrt(79) %i + 1        25 sqrt(79) %i - 25
c = ---------------], [a = -------------------, 
          10               6 sqrt(79) %i + 34
    5 sqrt(79) %i - 5        sqrt(79) %i - 1
b = -----------------, c = - ---------------]]
    sqrt(79) %i - 11               10

注意上面的显示由一个“列表”组成，也就是说，由两个方括号[ ... ]括住的一些表达式，它本身还包含两个列表，每个列表包含方程组的一组解。Maxima可以轻松处理三角问题，函数trigexpand利用sum-angles公式使得每个三角函数的参数尽可能简单。

(%i10) sin(u + v) * cos(u)^3;
                          3
(%o10)                 cos (u) sin(v + u)
(%i11) trigexpand (%);
                3
(%o11)       cos (u) (cos(u) sin(v) + sin(u) cos(v))

与此相反，函数 trigreduce把一个表达式转换成几项和的形式，每一项只含有1个 sin 或 cos：

(%i12) trigreduce (%o10);
       sin(v + 4 u) + sin(v - 2 u)   3 sin(v + 2 u) + 3 sin(v)
(%o12) --------------------------- + -------------------------
                    8                            8

函数 realpart 和 imagpart 返回一个复数表达式的实部和虚部：

(%i13) w: 3 + k*%i;
(%o13)                      %i k + 3
(%i14) w^2 * %e^w;
                               2   %i k + 3
(%o14)               (%i k + 3)  %e
(%i15) realpart (%);
                3       2               3
(%o15)        %e  (9 - k ) cos(k) - 6 %e  k sin(k)

微积分

Maxima可以计算导数和积分，按 Taylor 级数展开，求极限和普通的微分方程的精确解。我们从把符号 f 定义为如下的 x 的函数开始：

(%i1) f: x^3 * %e^(k*x) * sin(w*x);
                         3   k x
(%o1)                   x  %e    sin(w x)

我们计算 f 对自变量 x 的导数：

(%i2) diff (f, x);
         3   k x               2   k x
(%o2) k x  %e    sin(w x) + 3 x  %e    sin(w x)
                                                 3   k x
                                            + w x  %e    cos(w x

现在我们求 f 对 x 的不定积分：

(%i3) integrate (f, x);
            6      3  4      5  2    7   3
(%o3) (((k w  + 3 k  w  + 3 k  w  + k ) x
       6      2  4      4  2      6   2
 + (3 w  + 3 k  w  - 3 k  w  - 3 k ) x
            4       3  2      5         4       2  2      4
 + (- 18 k w  - 12 k  w  + 6 k ) x - 6 w  + 36 k  w  - 6 k )
   k x                 7      2  5      4  3    6     3
 %e    sin(w x) + ((- w  - 3 k  w  - 3 k  w  - k  w) x
         5       3  3      5     2
 + (6 k w  + 12 k  w  + 6 k  w) x
       5       2  3       4              3       3      k x
 + (6 w  - 12 k  w  - 18 k  w) x - 24 k w  + 24 k  w) %e
             8      2  6      4  4      6  2    8
 cos(w x))/(w  + 4 k  w  + 6 k  w  + 4 k  w  + k )

稍微改变一下语法可以得到定积分：

(%i4) integrate (1/x^2, x, 1, inf);
(%o4)                           1
(%i5) integrate (1/x, x, 0, inf);

Integral is divergent
-- an error.  Quitting.  To debug this try debugmode(true);

下面我们使用符号 f (在 %i1中已定义)和双曲正弦函数来定义符号g，并在 x = 0 点展开为泰勒级数（高达3阶）:

(%i6) g: f / sinh(k*x)^4;
                         3   k x
                        x  %e    sin(w x)
(%o6)                   -----------------
                               4
                           sinh (k x)
(%i7) taylor (g, x, 0, 3);
                        2    3   2         2    3   3
         w    w x   (w k  + w ) x    (3 w k  + w ) x
(%o7)/T/ -- + --- - -------------- - ---------------- + . . .
          4    3            4                 3
         k    k          6 k               6 k

当 x 趋向于0时 g 的极限计算如下：

(%i8) limit (g, x, 0);
                               w
(%o8)                          --
                                4
                               k

Maxima也允许导数已非计算形式表示（注意引号）：

(%i9) 'diff (y, x);
                               dy
(%o9)                          --
                               dx

(%i9) 中的引号操作符表示（不求值）。没有它的话，Maxima将得到0：

(%i10) diff (y, x);
(%o10)                          0

使用引号操作符我们可以写微分方程：

(%i11) 'diff (y, x, 2) + 'diff (y, x) + y;
                           2
                          d y   dy
(%o11)                    --- + -- + y
                            2   dx
                          dx

Maxima的 ode2 函数可以求解一阶和二阶的常微分方程：

(%i12) ode2 (%o11, y, x);
             - x/2          sqrt(3) x            sqrt(3) x
(%o12) y = %e      (%k1 sin(---------) + %k2 cos(---------))
                                2                    2

矩阵运算

Maxima 可以计算行列式，以及带符号元素(也就是说，带有代数变量的元素)的矩阵的逆, 特征值和特征向量。我们从一个元素一个元素地输入一个矩阵 m开始：

(%i1) m: entermatrix (3, 3);

Is the matrix  1. Diagonal  2. Symmetric  3. Antisymmetric  4. General
Answer 1, 2, 3 or 4 : 
4;
Row 1 Column 1: 
0;
Row 1 Column 2: 
1;
Row 1 Column 3: 
a;
Row 2 Column 1: 
1;
Row 2 Column 2: 
0;
Row 2 Column 3: 
1;
Row 3 Column 1: 
1;
Row 3 Column 2: 
1;
Row 3 Column 3: 
0;

Matrix entered.
                           [ 0  1  a ]
                           [         ]
(%o1)                      [ 1  0  1 ]
                           [         ]
                           [ 1  1  0 ]

下面我们求它的转置，行列式和逆矩阵：

(%i2) transpose (m);
                           [ 0  1  1 ]
                           [         ]
(%o2)                      [ 1  0  1 ]
                           [         ]
                           [ a  1  0 ]
(%i3) determinant (m);
(%o3)                         a + 1
(%i4) invert (m), detout;
                        [ - 1   a    1  ]
                        [               ]
                        [  1   - a   a  ]
                        [               ]
                        [  1    1   - 1 ]
(%o4)                   -----------------
                              a + 1

在 (%i4)中，修饰符 detout 将行列式的值保持在逆矩阵元素的外边。作为检验，我们用矩阵 m 乘以它的逆（注意这儿用小数点表示矩阵的乘法）：

(%i5) m . %o4;
                               [ - 1   a    1  ]
                               [               ]
                               [  1   - a   a  ]
                 [ 0  1  a ]   [               ]
                 [         ]   [  1    1   - 1 ]
(%o5)            [ 1  0  1 ] . -----------------
                 [         ]         a + 1
                 [ 1  1  0 ]
(%i6) expand (%);
         [   a       1                                 ]
         [ ----- + -----        0              0       ]
         [ a + 1   a + 1                               ]
         [                                             ]
         [                  a       1                  ]
(%o6)    [       0        ----- + -----        0       ]
         [                a + 1   a + 1                ]
         [                                             ]
         [                                 a       1   ]
         [       0              0        ----- + ----- ]
         [                               a + 1   a + 1 ]
(%i7) factor (%);
                           [ 1  0  0 ]
                           [         ]
(%o7)                      [ 0  1  0 ]
                           [         ]
                           [ 0  0  1 ]

要求得矩阵 m 的特征值和特征向量，我们使用函数 eigenvectors：

(%i8) eigenvectors (m);
           sqrt(4 a + 5) - 1  sqrt(4 a + 5) + 1
(%o8) [[[- -----------------, -----------------, - 1], 
                   2                  2
                  sqrt(4 a + 5) - 1    sqrt(4 a + 5) - 1
[1, 1, 1]], [1, - -----------------, - -----------------], 
                       2 a + 2              2 a + 2
    sqrt(4 a + 5) + 1  sqrt(4 a + 5) + 1
[1, -----------------, -----------------], [1, - 1, 0]]
         2 a + 2            2 a + 2

在 %o8中，第一个元组（triple）给出了m的特征值，第二个给出了它们各自的重数（此处都是不重复的）。下面的三个元组给出了 m 相应的特征向量。为了从这些表达式中提取一个特征向量，我们使用 part 函数：

(%i9) part (%, 2);
                sqrt(4 a + 5) - 1    sqrt(4 a + 5) - 1
(%o9)     [1, - -----------------, - -----------------]
                     2 a + 2              2 a + 2

Maxima编程

到现在为止，我们都是在交互模式下使用的 Maxima，使用过程象个计算器一样，然而，对于那些需要多次调用的计算过程，还是编写一个自定义函数来得方便。这里我们展示了一个简短的自定义函数，用来计算二元函数 f(x,y) 的极值点。这个程序提示用户输入函数 f，之后就会计算 fx 和 fy 的偏导数，接着调用 Maxima 命令 solve 去得到 fx=fy=0的解。这个程序在 Maxima 之外用一个文本编辑器编写，然后用 batch 命令装载进 Maxima。下面是程序列表：

/* -------------------------------------------------------------------------- 
   this is file critpts.max: 
   as you can see, comments in maxima are like comments in C 

   Nelson Luis Dias, [email protected]
   created 20000707
   updated 20000707
   --------------------------------------------------------------------------- */
critpts():=(
   print("program to find critical points"),
/* ---------------------------------------------------------------------------
   asks for a function
   --------------------------------------------------------------------------- */
   f:read("enter f(x,y)"),
/* ---------------------------------------------------------------------------
   echoes it, to make sure
   --------------------------------------------------------------------------- */
   print("f = ",f),
/* ---------------------------------------------------------------------------
   produces a list with the two partial derivatives of f
   --------------------------------------------------------------------------- */
   eqs:[diff(f,x),diff(f,y)],
/* ---------------------------------------------------------------------------
   produces a list of unknowns
   --------------------------------------------------------------------------- */
   unk:[x,y],
/* ---------------------------------------------------------------------------
   solves the system
   --------------------------------------------------------------------------- */
   solve(eqs,unk)   
)$

这个程序 (实际上是个没有参数的函数) 叫做 critpts。每一行都是一个有效的 Maxima 语句，由逗号隔开。偏导数被保存在一个叫做 eqs 的变量中。未知数保存在变量 unk 中。以下是运行示例：

(%i1) batch ("critpts.max");

batching #p/home/robert/tmp/maxima-clean/maxima/critpts.max
(%i2) critpts() := (print("program to find critical points"), 
f : read("enter f(x,y)"), print("f = ", f), 
eqs : [diff(f, x), diff(f, y)], unk : [x, y], solve(eqs, unk))
(%i3) critpts ();
program to find critical points 
enter f(x,y) 
%e^(x^3 + y^2)*(x + y);
                2    3
               y  + x
f =  (y + x) %e        
(%o3) [[x = 0.4588955685487 %i + 0.35897908710869, 
y = 0.49420173682751 %i - 0.12257873677837], 
[x = 0.35897908710869 - 0.4588955685487 %i, 
y = - 0.49420173682751 %i - 0.12257873677837], 
[x = 0.41875423272348 %i - 0.69231242044203, 
y = 0.4559120701117 - 0.86972626928141 %i], 
[x = - 0.41875423272348 %i - 0.69231242044203, 
y = 0.86972626928141 %i + 0.4559120701117]]

Maxima函数的不完全列表

看Maxima的参考手册doc/html/maxima_toc.html （在Maxima的安装目录下）。在Maxima运行时，你可以使用 describe(函数名)。

allroots(a): 求解多项式方程a所有的（复数）根，并把它们以数值格式（i.e. 采用16位有效数字）列出来。
append(a,b): 将列表b追加到列表a，产生一个单一列表。
batch(a): 加载并运行一个文件名为a的程序。
coeﬀ(a,b,c): 给出表达式a中b的c次方项的系数。
concat(a,b): 生成符号ab，比如concat(y,44)的结果为y44。
cons(a,b): 将a加入列表b的头部。
demoivre(a): 将表达式a中的复指数项变换为等价的三角形式。
denom(a): 给出表达式a的分母。
depends(a,b): 声明a是自变量b的函数。这在书写微分方程的时候很有用。
desolve(a,b): 使用拉普拉斯变换求解线性常微分方程a的未知量b。
determinant(a): 给出方阵a的行列式。
diff(a,b1,c1,b2,c2,...,bn,cn): 给出a对变量bi的ci阶偏导数。diff(a,b,1)可简写为diff(a,b)。’diff(...) 代表不经过计算（unevaluated）的求导，这在书写微分方程的时候很有用。
eigenvalues(a): 返回两个列表，第一个列表是矩阵a的本征值，第二个是本征值对应的重复次数。
eigenvectors(a): 包含eigenvalues所有功能，并且计算矩阵a的本征向量。
entermatrix(a,b): 引导用户一个一个元素地输入一个a × b 的矩阵。
ev(a,b1,b2,...,bn): 在bi 的条件下计算表达式a的值。bi可以是方程、方程构成的列表（比如solve 返回的结果）或者赋值语句，在这种情况下，ev将bi“插入”到表达式a中。bi还可以是关键词numer（它让结果以数值格式显示），detout（它使任一矩阵的逆矩阵把行列式的值作为系数放在矩阵外），或者diff（它要求所有的微分都必须计算，即’diff被diff替代）。对manual command(即，不在用户自定义函数内)，ev可以省略，; 于是可简写为a,b1,b2,...,bn.
expand(a): 展开表达式a。
exponentialize(a): 将a中的所有三角函数转换为它们对应的复指数形式。
factor(a): 对表达式a进行因式分解。
freeof(a,b): 如果a不是表达式b的一部分，返回true。
grind(a): Displays a variable or function a in a compact format.When used with writeﬁle and an editor outside of Maxima, it oﬀers a scheme for producing batch ﬁles which include Maxima- generated expressions.
ident(a): 返回一个a × a的单位矩阵。
imagpart(a): 返回a的复数部分。
integrate(a,b): 计算a对变量b的不定积分。
integrate(a,b,c,d): 计算a在区间b ∈ [c, d]上的定积分。积分限c,d可以分别取minf（负无穷大）， inf（正无穷大）。
invert(a): 计算方阵a的逆矩阵。
kill(a): 从当前的Maxima环境中移除变量a以及它的属性。
limit(a,b,c): 计算当b趋近于c时a的极限。与积分函数integrate一样，c可以取inf或minf。
lhs(a): 给出方程a的等号左边部分。
loadﬁle(a): 从磁盘的当前目录中加载文件名为a的文件。该文件必须具有正确的格式（i.e. 由save命令创建）。
makelist(a,b,c,d): 创建一个a（假定a以b为自变量）的列表，从b=c到b=d依次将a追加到列表。
map(a,b): Maps the function a onto the subexpressions of b.
matrix(a1,a2,...,an): 创建一个以ai为行向量的矩阵a，每一个行向量是一个包含m个元素的列表[b1, b2, ..., bm]。
num(a): 给出表达式a的分子。
ode2(a,b,c): 求解一阶或二阶常微分方程a，其中b是c的函数。
part(a,b1,b2,...,bn): 首先取表达式的第b1部分，然后再在该部分中再取b2部分，依次...
playback(a): Displays the last a (an integer) labels and their associated expressions. If a is omitted, all lines are played back. See the Manual for other options.
ratsimp(a): 化简并以两个多项式的商的形式显示。
realpart(a): 返回a的实部。
rhs(a): 给出方程a的等号右边部分。
save(a,b1,b2,..., bn): 在磁盘的当前目录下创建包含变量、函数或矩阵bi的文件a。该文件可以在以后的会话中用loadﬁle命令重新载入。如果b1取all的话，每一个符号（包括标签）都可以得以保存。
solve(a,b): 求解关于未知数b的代数方程a，将返回一个根的列表。简单起见，如果方程a是c=0的形式（即方程右侧为0）,a可以用表达式c替代。
string(a): 将表达式a转换为Maxima的线性表示（类似a的Fortran表示）就像是它被输入并放入一个缓冲区以用来进行可能的编辑。这样string以后的表达式不能用于后续的计算。
stringout(a,b1,b2,...,bn): 在当前缺省磁盘目录下创建关于变量bi（比如labels）的文件a。该文件采用文本格式并且不能被Maxima再次读入。尽管如此，这种字符串化的输出只需经过稍许修改就可用于Fortran，Basic或C程序。
subst(a,b,c): 将表达式c中的b用a来替换。
taylor(a,b,c,d): 将表达式a在b=c处展开为泰勒级数，展开的级次不超过(b − c)d 。Maxima也支持超过一个自变量的泰勒展开，详细资料查看手册。
transpose(a): 给出矩阵a的转置。
trigexpand(a): 这是一个三角化简的函数，它采用sum-of-angle公式使得每一个sin和cos函数的变量尽可能简单。例如：trigexpand(sin(x+y))的结果为cos(x) sin(y) + sin(x) cos(y).
trigreduce(a): 这是一个三角化简的函数，它采用三角恒等式将乘积或幂函数变换为sin或cos的和的形式，每一项只含有一个sin或cos。例如：trigreduce(sin(x)^2)的结果为(1 - cos(2x))/2.
trigsimp(a): 这也是一个三角化简的函数，它将表达式中的tan，sec等函数变换为cos和sin函数。变换过程中它也使用恒等式sin()2 + cos()2 = 1。