查看“计算机代数系统MAXIMA”的源代码


== MAXIMA ==


原文出处：[http://forum.ubuntu.org.cn/viewtopic.php?t=1525 ubuntu中文论坛]

原文作者：王垠

授权许可：作者未指明

转载人员：MillenniumDark

校对人员：

适用版本：all

注：title的用法快让我发疯了。改了好多次，基本都弄好了。但最后“资料”就是弄不好。谁熟悉moimmoim的帮一下忙。

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=== 下载地址 ===
MAXIMA 可以在 http://sourceforge.net/projects/maxima 免费下载。如果不是从源码安装，你需要下载一个 maxima 和一个 maxima-exec 包。推荐用 maxima-exec_gcl-*，因为用这个你不需要再安装 LISP 解释器了。

=== MAXIMA 的历史 ===
MAXIMA 是由 DOE-MACSYMA 演变而来的。MACSYMA 是 MIT 在 60年代末创造的一种 CAS。它是用 LISP 实现的。MACSYMA 早期的赞助包括 ARPA, DOE, ... 它运行于一台 ARPAnet 早期的PDP-10主机上。 一直以来 MACSYMA 都是世界上最大的 LISP 程序，用于公式推导和符号计算。

但是由于 MIT 1982年的时候决定把MACSYMA变成一个关闭源码的商业程序，帮助销售 LISP 机器。所以产生了很多 MACSYMA 的分支，比如 VAXIMA, MAXIMA, ... 商业利益的诱惑使得 MIT 从 Berkeley 收回了 50 份正在使用的 MACSYMA 系统，引起很多人不满，使人想起了当年 AT&T 在 UNIX 身上的作法。同时也直接导致了 Richard Stallman 从 MIT 辞职，创立自由软件基金会(FSF)和GNU项目，这样才会有我们今天使用的 GNU/Linux.

商业的 MACSYMA 是由 Symbolics Inc 销售的，后来是 Macsyma Inc，但是 Macsyma Inc 在 1999 年突然不明原因的解体了，程序员各奔东西，众多的用户失去了支持。

现在的MAXIMA 是 MACSYMA 的一个 GPL 的衍生版本，它是自由软件。它就是 MACSYMA 未来的希望。虽然以前有 REDUCE, CAMAL, Mathlab-68, PM, ... 但是 MACSYMA 在Mathematica 和 Maple 出现以前显然是没有对手的。但是现在似乎Mathematica 和 Maple 已经挤垮了 MACSYMA。不过各有各的好处，你继续看下去就知道 MAXIMA 哪些地方比 Mathematica 和 Maple 好。

由于 MAXIMA 就是 MACSYMA 的一个版本。下文中我们的 "MAXIMA" 和 "MACSYMA" 两个单词可以互换。

=== MAXIMA 简介 ===
MAXIMA 是完全可以跟 Mathematica 和 Maple 比美的 CAS。实际上 Mathematica 和 Maple 的很多优点都是从 MACSYMA 身上学来的。

==== 严密的逻辑 ====
Maple 和 Mathematica 经常做错的东西，MACSYMA 经常会给你一个合理的答复。当然它也会做错。小心！计算机代数系统给出的答案都有可能是错误的，不能完全依赖它们。

你可以试试积分： <code><nowiki>integrate(x^i,x) 和 Integrate 1/sqrt(2-2*cos(x)) from x=-pi/2 to pi/2</nowiki></code>。 Mathematica 4.1 会立即给你一个不完全正确甚至错误的答案。

在这种情况下，MAXIMA 的表现要聪明的多，因为它毕竟有几十年的经验。MAXIMA 缺省是一个非常严密的系统，如果你要积分:

<code><nowiki>integrate(x^i,x); </nowiki></code> MAXIMA 会问你：

<code><nowiki>Is i + 1 zero or nonzero? </nowiki></code> 这是因为现在我们不知道 i 是否等于 -1。如果 i=-1, 那么这个积分应该等于 LOG(x)，其中 LOG 是 MAXIMA 的自然对数符号。如果 i 不等于 -1，那么积分应该等于

<pre><nowiki>
i + 1
x
------
i + 1
</nowiki></pre>
这样每次都要问你有时很麻烦，你也可以告诉它，没有特殊指明的情况下，假设积分里的符号都是正数：

<code><nowiki>ASSUME_POS: True; </nowiki></code> 它以后遇到 integrate(x^i,x); 就会直接给你

<pre><nowiki>
i + 1
x
------
i + 1
</nowiki></pre>
而不会再问你问题了。

==== 方便的推理 ====
不仅严密，而且 MAXIMA 有比 Mathematica 和 Maple 方便的推理系统。你跟 MAXIMA 就像在对话：

看看这个例子：如果A>=B, B>=C, C>=A, 那么 A=C 吗？

<pre><nowiki>
(C1) ASSUME(A>=B, B>=C);
(D1) [A >= B, B >= C]
(C2) ASSUME(C>=A);
(D2) [C >= A]
(C3) IS(EQUAL(A,B));
(D3) TRUE
</nowiki></pre>
另一个例子: 如果 x>y, 那么x<sup>2 >y</sup>2 吗？

<pre><nowiki>
(C4) ASSUME(x>y);
(D4) [x > y]
(C5) IS(x<sup>2>=y</sup>2);
MACSYMA was unable to evaluate the predicate:
2 2
x >= y
-- an error. Quitting. To debug this try DEBUGMODE(TRUE)
</nowiki></pre>
MAXIMA 不能回答你，因为 x,y 的符号未知。 现在你告诉它 x 和 y 都是正数：

<pre><nowiki>
(C6) assume(x>0, y>0);
(D6) [x > 0, y > 0]
(C7) is(x<sup>2>y</sup>2);
(D7) TRUE
</nowiki></pre>
这下它告诉你答案了。  它可以根据一些事实来化简式子。我们有这样一个复杂的式子：

<pre><nowiki>
(C11) EXP:-K<sup>2*L^2*M^2*N^2-K^2*L^2*N^2+K^2*M^2*N^2+K^2*N</sup>2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(D11) - K L M N + K M N - K L N + K N
</nowiki></pre>
我们还有两个简单的事实：

<pre><nowiki>
(C12) EQ1:L<sup>2+K</sup>2 = 1
2 2
(D12) L + K = 1
(C13) EQ2:N<sup>2-M</sup>2 = 1
2 2
(D13) N - M = 1
</nowiki></pre>
让它根据这两个事实化简第一个式子：  <code><nowiki>(C14) SCSIMP(EXP,EQ1,EQ2) </nowiki></code> 得到一个很简单的答案：

<pre><nowiki>
4 4
(D14) K N
</nowiki></pre>
==== 抽象代数 ====
在你还没有函数的定义时，你就可以声明这个函数的一些性质。这样你可以在很多时候大大简化结果。比如，你可以声明一个函数是奇函数：

<pre><nowiki>
(C1) DECLARE(F,ODDFUN);
(D1) DONE
(C2) F(-A);
(D2) -F(A)
</nowiki></pre>
F(-A) 以后简化时就可以被当成 -F(A)。你再声明 F(X) 是 OUTATIVE:

<pre><nowiki>
(C5) DECLARE(F,OUTATIVE);
(D5) DONE
(C6) F(3*A);
(D6) 3 F(A)
</nowiki></pre>
这样，F(3a) 可以被当成 3F(a)。综合以上两个事实，我们可以得到：

<pre><nowiki>
(C7) F(-A)+F(2*A)-F(A);
(D7) 0
</nowiki></pre>
如果你告诉 MAXIMA，n 是一个整数，那么它就知道 sin(n pi) = 0.

<pre><nowiki>
(C1) declare(n,integer);
(D1) DONE
(C2) sin(n*%pi);
(D2) 0
</nowiki></pre>
你甚至可以定义自己的操作符，它可以有中缀，前缀，后缀，nary等各种方式，可以有任意的优先级，可以设定它是左结合还是右结合。比如我们来定义一个NARY操作 "&"，它的优先级是180（缺省），它是右结合的。

<pre><nowiki>
(C6) NARY("&");
(D6) "&"
(C7) declare("&",RASSOCIATIVE);
(D7) DONE
(C x&y&a&b;
(D x & (y & (a & b))
</nowiki></pre>
==== 超强的扩展能力 ====
另外，MAXIMA 是可以用自己的语言或者 LISP 进行扩展的。比如你可以用 recur 包来推导递推关系：

<pre><nowiki>
(C load(recur);
(D /usr/share/maxima/5.9.0rc3/share/algebra/recur.mac
</nowiki></pre>
现在我们来解一个“快速排序”的时间复杂度分析里出现的简单的递推关系：

<pre><nowiki>
T(0)=0
T(N)=2*T(N-1)+1
这样输入到 MAXIMA:
(C14) CHAR(T(N+1)-2*T(N),1,T,N,1,[T(0)=0]);
N
(D14) T(N) = 2 - 1
</nowiki></pre>
这个 recur 实际上只是一个200多行的小程序，就可以帮你处理线性递推关系，生成函数……

MAXIMA 有函数式的程序语言，它比通常的过程式语言要强大的多。你甚至可以接触到它底层的 LISP。Mathematica 的语法就是跟 MACSYMA 学来的。

MAXIMA 完全是用 LISP 语言写的，所以它继承了 LISP 语言天生的特征。它分为上下两层，上面一层叫做 MAXIMA level，下面一层叫做 LISP level。上下两层是相通的，如果你懂得 LISP，你可以随时按 Ctrl-C 进入到 LISP 的环境，定义一个函数，然后退回到 MAXIMA 层调用那个函数。当然在 LISP level 还有很多工作可以做。你也可以在 MAXIMA level 定义了函数，然后在 LISP level 进行调用。

=== 资料 ===
MAXIMA 跟商业的 MACSYMA 的功能基本相同。如果你有商业的 MACSYMA 那就可以用它的手册。如果你没有，就只好看 MAXIMA 自带的 manual 了。