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本文作者：Robert Dodier

翻译：dbzhang800

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文章状态：整理中... 

==  Maxima 是什么?==

Maxima 是一个处理数学表达式的系统,例如x + y, sin(a + bπ)以及u · v − v · u

Maxima 并不太关心表达式的含义,一个表达式是否有意义由使用者来判断。

有时你想给未知数赋值并且要计算表达式的值。Maxima 很善长做这件事。但是Maxima 也很
善长推迟赋值;你可以先对表达式做一番处理,然后才给(也许永远不给)未知数赋值。

我们先看几个例子:

'''1.我想计算球的体积。'''
 (%i1) V: 4/3 * %pi * r^3;
                                   3
                           4 %pi r
 (%o1)                     --------
                              3
'''2.半径是10。'''
 (%i2) r: 10;
 (%o2)        10

'''3.V的值和前面一样;在我们下令以前,Maxima不会改变V的值。'''
 (%i3) V;
                   3
          4 %pi r
 (%o3)    --------
             3
'''4.Maxima,重新计算一下V。'''
 (%i4) ’’V;
            4000 %pi
 (%o4)      --------
               3
'''5.我想看到一个具体的数值而不是一个表达式。'''
 (%i5) ’’V, numer;
 (%o5)             4188.79020478639

== 表达式 ==

Maxima 中所有的东西都是表达式,包括数学表达式、对象、程序结构等。表达式要么是原子,要么是操作符与它的自变量。

原子是一个符号(名字),一个用引号括起来的字符串,或者是一个数(整数或浮点数)。

所有非原子表达式都表示为op(a1 , . . . , an ),其中op是操作符的名字,a1 , . . . , an 是自变。(表达式的显示形式可能不太一致,但内部表示都是一样的。)表达式中的自变量可以是原子或非原子表达式。

数学表达式中含有一个操作符,比如+ − ∗/ < = > 或者一个函数,比如'''sin'''(x),'''bessel_j'''(n, x)。在这种情况下操作符就是函数。

对象在Maxima 中是表达式。列表[a1 , . . . , an ]就是表达式'''list'''(a1 , . . . , an )。矩阵就是表达式
    matrix(list(a1,1 , . . . , a1,n ), . . . ,list(am,1 , . . . , am,n ))

程 序 构 造 是 表 达 式 。 一 个 代 码 块'''block'''(a1 , . . . , an )是 操 作 符 为'''block'''自 变 量 为a1 , . . . , an 的表 达 式 。 条 件 语 句'''if''' a '''then''' b '''elseif''' c '''then''' d是 表 达 式'''if'''(a, b, c, d)。 循 环'''for''' a '''in''' L '''do''' S是 类 似于'''do'''(a, L, S)的表达式。

Maxima 函数'''op'''返回一个非原子表达式的操作符。函数args返回非原子表达式的自变量。函数'''atom'''判断一个表达式是不是原子。

让我们看几个例子。

'''1. 符号、字符串和数字都是原子。为了一次能看到它们,我把几个例子凑到时了一个列表里面。'''

 (%i2) [a, foo, foo_bar, "Hello, world!", 42, 17.29];
 (%o2)      [a, foo, foo_bar, Hello, world!, 42, 17.29]

'''2. 数学表达式。'''

 (%i1) [a + b + c, a * b * c, foo = bar, a*b < c*d];
 (%o1)       [c + b + a, a b c, foo = bar, a b < c d]

'''3. 列表和矩阵。列表和矩阵的元可以是任何表达式,甚至是其它列表或矩阵。'''

 (%i1) L: [a, b, c, %pi, %e, 1729, 1/(a*d - b*c)];
                                                    1
 (%o1)                 [a, b, c, %pi, %e, 1729, ---------]
                                                a d - b c
 (%i2) L2: [a, b, [c, %pi, [%e, 1729], 1/(a*d - b*c)]];
                                                     1
 (%o2)               [a, b, [c, %pi, [%e, 1729], ---------]]
                                                 a d - b c
 (%i3) L [7];
                                        1
 (%o3)                              ---------
                                    a d - b c
 (%i4) L2 [3];
                                                  1
 (%o4)                   [c, %pi, [%e, 1729], ---------]
                                              a d - b c
 (%i5) M: matrix ([%pi, 17], [29, %e]);
                                   [ %pi  17 ]
 (%o5)                             [         ]
                                   [ 29   %e ]
 (%i6) M2: matrix([[%pi,17],a*d - b*c],[matrix([1,a],[b,7]),%e]);
                            [ [%pi, 17]  a d - b c ]
                            [                      ]
 (%o6)                      [ [ 1  a ]             ]
                            [ [      ]      %e     ]
                            [ [ b  7 ]             ]
 (%i7) M [2][1];
 (%o7)                                 29
 (%i8) M2 [2][1];
                                    [ 1  a ]
 (%o8)                              [      ]
                                    [ b  7 ]
 
'''4. 程序构造是表达式。x : y表示把y赋给x;这个赋值表达式的值是y。block把几个表达式组合为一个块,然后依次求各个表达式的值;最后一个表达式的值即是块的值。'''

 (%o1)                                 25
 (%i2) [a, b];
 (%o2)                              [42, 17]
 (%i3) block ([a], a: 42, a^2 - 1600) + block ([b], b: 5, %pi^b);
                                      5
 (%o3)                             %pi  + 164
 (%i4) (if a > 1 then %pi else %e) + (if b < 0 then 1/2 else 1/7);
                                           1
 (%o4)                               %pi + -
                                           7
'''5. op返回操作符,args返回自变量,atom判断一个表达式是不是原子。'''

 (%i1) op (p + q);
 (%o1)                                  +
 (%i2) op (p + q > p*q);
 (%o2)                                  >
 (%i3) op (sin (p + q));
 (%o3)                                 sin
 (%i4) op (foo (p, q));
 (%o4)                                 foo
 (%i5) op (foo (p, q) := p - q);
 (%o5)                                 :=
 (%i6) args (p + q);
 (%o6)                               [q, p]
 (%i7) args (p + q > p*q);
 (%o7)                            [q + p, p q]
 (%i8) args (sin (p + q));
 (%o8)                               [q + p]
 (%i9) args (foo (p, q));
 (%o9)                              [p, - q]
 (%i10) args (foo (p, q) := p - q);
 (%o10)                        [foo(p, q), p - q]
 (%i11) atom (p);
 (%o11)                               true
 (%i12) atom (p + q);
 (%o12)                               false
 (%i13) atom (sin (p + q));
 (%o13)                               false

'''6. 程序构造的操作符和自变量。单引号告诉Maxima构造表达式,但不求值。这点我们后面会涉及。'''

 (%o0)                                done
 (%i1) op ('(block ([a], a: 42, a^2 - 1600)));
 (%o1)                                block
 (%i2) op (' (if p > q then p else q));
 (%o2)                                 if
 (%i3) op ('(for x in L do print (x)));
 (%o3)                                mdoin
 (%i4) args (' (block ([a], a: 42, a^2 -1600)));
                                          2
 (%o4)                      [[a], a : 42, a  - 1600]
 (%i5) args (' (if p > q then p else q));
 (%o5)                         [p > q, p, true, q]
 (%i6) args (' (for x in L do print (x)));
 (%o6)            [x, L, false, false, false, false, print(x)]

==求值==

一个符号的值是跟这个符号相关联的一个表达式。每个符号都有一个值如果没有被赋值,一个符号的值就是它自己。(例如,如果没有给x赋过值,那么它的值就是x。)数字和字符串的值就是它们本身。

一个非原子表达式基本上按下面方式求值。
# 对表达式中操作符的每一个自变量求值。
# 如果一个操作符是一个可以调用的函数,那么就调用这个函数,而表达式的值就是该函数    的返回值。
在几种情况下,上述求值过程会发生变化。其中一些变化将导致较少的求值运算:
# 有一些函数并不对它们一部分或者全部自变量进行求值,或者相反修改了它们自变量的值。
# 一个单引号 会阻止求值。
## 'a的求值结果为a。a的任何其它值都被忽略掉。
## 对 f (a1, ..., an )的求值得到时f (ev(a1), ..., ev(an))。也就是说,自变量都被求值了,而f 却没有被调用。
## '(...)将阻止(...)中任何表达式的求值。
另外一些变化会导致更多的求值运算。
# 两个单引号 a使得在对表达式a作语法分析的时候就额外求值一次。
# '''ev(a)'''使得每次对'''ev'''(a)求值的时候都额外对a求值。
# '''apply'''(f, [a1, ..., an ])将会对自变量(a1, ..., an )求值,即使f 只是一般地引用它们。
# '''define'''像:= 一样构造一个函数定义,但是'''define'''会对函数体求值而:=则仅仅引用函数体。

下面看一些表达式是怎样被求值的。

'''1. 如果没有被赋值,那么符号的求值结果就是它们自身。'''

 (%i1) block (a: 1, b: 2, e: 5);
 (%o1)                           5
 (%i2) [a, b, c, d, e];
 (%o2)                    [1, 2, c, d, 5]

'''2. 操作符的自变量一般求值(除非以某种方法阻止求值)。'''

 (%i1) block (x: %pi, y: %e);
 (%o1)                           %e
 (%i2) sin (x + y);
 (%o2)                        - sin(%e)
 (%i3) x > y;
 (%o3)                        %pi > %e
 (%i4) x!;
 (%o4)                          %pi!

'''3. 如果操作符对应于一个可调用函数,那么调用这个函数(除非被阻止)。否则,求值会得到具有同一个操作符的另一个表达式。'''

 (%i1) foo (p, q) := p - q;
 (%o1)                  foo(p, q) := p - q
 (%i2) p: %phi;
 (%o2)                          %phi
 (%i3) foo (p, q);
 (%o3)                        %phi - q
 (%i4) bar (p, q);
 (%o4)                      bar(%phi, q)

'''4. 一些函数引用它们的自变量。例如:save , :=, kill'''

 (%i1) block (a: 1, b: %pi, c: x + y);
 (%o1)                         y+x
 (%i2) [a, b, c];
 (%o2)                    [1, %pi, y + x]
 (%i3) save ("tmp.save", a, b, c);
 (%o3)                       tmp.save
 (%i4) f (a) := a^b;
 (%o4)                          b
 (%o4)                 f(a) := a
 (%i5) f (7);
                            %pi
 (%o5)                    7
 (%i6) kill (a, b, c);
 (%o6)                    done
 (%i7) [a, b, c];
 (%o7)                  [a, b, c]

'''5. 一个单引号会阻止求值。'''

 (%i1) foo (x, y) := y - x;
 (%o1)                  foo(x, y) := y - x
 (%i2) block (a: %e, b: 17);
 (%o2)                          17
 (%i3) foo (a, b);
 (%o3)                        17 - %e
 (%i4) foo (’a, ’b);
 (%o4)                         b-a
 (%i5) ’foo (a, b);
 (%o5)                      foo(%e, 17)
 (%i6) ’(foo (a, b));
 (%o6)                       foo(a, b)

'''6. 两个单引号使得在对表达式作语法分析的时候就额外求值一次。'''

 (%i1) diff (sin (x), x);
 (%o1)                        cos(x)
 (%i2) foo (x) := diff (sin (x), x);
 (%o2)               foo(x) := diff(sin(x), x)
 (%i3) foo (x) := ’’(diff (sin (x), x));
 (%o3)                   foo(x) := cos(x)

'''7. ev使得每当它求值的时候才有一次额外的求值。请对比它与两个单引号的不同效果。'''

 (%i1) block (xx: yy, yy: zz);
 (%o1)                          zz
 (%i2) [xx, yy];
 (%o2)                       [yy, zz]
 (%i3) foo (x) := ’’x;
 (%o3)                      foo(x) := x
 (%i4) foo (xx);
 (%o4)                          yy
 (%i5) bar (x) := ev (x);
 (%o5)                    bar(x) := ev(x)
 (%i6) bar (xx);
 (%o6)                          zz

'''8. apply导致对自变量求值,即便通常情况下仅仅对它们引用。'''

 (%i1) block (a: aa, b: bb, c: cc);
 (%o1)                          cc
 (%i2) block (aa: 11, bb: 22, cc: 33);
 (%o2)                          33
 (%i3) [a, b, c, aa, bb, cc];
 (%o3)               [aa, bb, cc, 11, 22, 33]
 (%i4) apply (kill, [a, b, c]);
 (%o4)                         done
 (%i5) [a, b, c, aa, bb, cc];
 (%o5)               [aa, bb, cc, aa, bb, cc]
 (%i6) kill (a, b, c);
 (%o6)                         done
 (%i7) [a, b, c, aa, bb, cc];
 (%o7)                 [a, b, c, aa, bb, cc]

'''9. define对函数定义求值。'''

 (%i1) integrate (sin (a*x), x, 0, %pi);
                          1   cos(%pi a)
 (%o1)                    - - ----------
                          a       a
 (%i2) foo (x) := integrate (sin (a*x), x, 0, %pi);
 (%o2)       foo(x) := integrate(sin(a x), x, 0, %pi)
 (%i3) define (foo (x), integrate (sin (a*x), x, 0, %pi));
                               1    cos(%pi a)
 (%o3)               foo(x) := - - ----------
                               a        a

==化简==

对一个表达式求值之后,Maxima试图寻找一个“更简单”的等价的表达式。Maxima会应用几个规则,包括人们对简单的约定。例如,1 + 1化简为2,x + x化简为2x,以及'''sin'''(%'''pi''')化简为0。

然而,许多大家熟知的恒等式并不会被自动应用。例如,三角函数中的倍角公式,或者对分式的整理如a/b + c/b → (a + c)/b。有几个函数能够应用这些恒等式。

除非明确禁止,化简总是被执行。即使不对表达式求值也会执行化简。

'''tellsimpafter'''用来建立用户定义的化简规则。

我们来看几个化简的例子。

'''1. 单引号阻止求值,但不阻止化简。当全局标志simp是false的时候,阻止化简但不阻止求值。'''

'''2. 一些恒等式不能自动应用。expand, ratsimp, trigexpand, edmoivre是能够应用恒等式的一些函数。'''

==apply,map和lambda==

'''1. apply构造一个表达式并求值。表达式中的自变量总是被求值(即便在其它情况下不会)。'''

'''2. map对自变量列表中的每一项构造一个表达式并求值。表达式中的自变量总是被求值(即便在其它情况下不会)。'''

'''3. lambda构造一个lambda表达式(也就是说,一个无名函数)。lambda可以像一个命名函数一样用于一些环境中。lambda不对函数体求值。'''

==内置对象类型==
对象表示为一个表达式。像其它表达式一样,对象也由操作符和自变量组成。

最重要的内建类型列表、矩阵、集合。

===列表===
# 象这样来表示一个列表:[a, b, c]。
# 如果L是一个列表,则L[i]是它的第i个元素。L[1]是第一个元素。
# '''map'''(f, L)应用f 到L的每一个元素上。
# '''apply'''(“ + “, L)对L的所有元素求和。
# '''for''' x '''in''' L '''do''' expr对L中的每一个元素,求值expr。
# '''length'''(L)是L中元素的个数。

===矩阵===
# 矩阵象这样定义:'''matrix'''(L1 , . . . , Ln ),其中(L1 , . . . , Ln )是矩阵中每行矩阵元的列表。
# 如果M 是一个矩阵,M [i, j]或者M [i][j]就是它的第(i, j)个矩阵元。M [1, 1]是左上角矩阵元。
# 运算符 . 代表不可交换的乘法。M.L, L.M 和M.N 是不对易乘法,其中L是一个列表,M 和N 是矩阵。
# '''transpose'''(M )是M 的转置。
# '''eigenvalues'''(M )返回M 的本征值。
# '''eigenvectors'''(M )返回M 的本征向量。
# '''length'''(M )返回M 行数。
# '''length'''('''transpose'''(M ))返回M 的列数。

===集合===
# Maxima 理解显式定义的有限集合。集合跟列表不同如果要把一种变为另一种,需要显式的转换。
# 集合中元素是a, b, c, . . .时,我们这样指定集合:'''set'''(a, b, c, . . .)
# '''union'''(A, B)是A和B的并集。
# '''intersection'''(A, B)是A和B的交集。
# '''cardinality'''(A)是集合A中元素的个数。

==如何. . .==

===定义函数===
'''1. 运算符:=定义一个函数,引用函数体。'''

在下面的例子中, 每当调用函数时 ,'''diff'''都要重新求值。 自变量被代入到x, 然后求值最后的表达式。 当变量不   是一个符号时, 将发生错误 : 对于'''foo'''(1) Maxima试图对'''diff'''('''sin'''(1)2 , 1)求值。


'''2. define定义一个函数并对函数体求值。'''

在这个例子中,只对'''diff'''求值一次(当函数被定义的时候)。'''foo'''(1)现在是有效的。



===解方程===

===积分和微分===
'''integrate'''计算积分和不定积分。


'''diff'''计算导数。


===作图===
'''plot2d'''画2维图。

参考 '''plot3d。'''

===保存和载入文件===
'''save'''把表达式写入一个文件。

'''load'''从文件中读入表达式。

参考'''stringout'''的'''batch'''。

==Maxima 编程==

Maxima有一个包含了全部Maxima符号的命名空间。没有办法建立其它命名空间。

所有变量都是全局的,除非它们出现在局部变量的声明中。函数、lambda表达式、以及块中可以有局部变量。

一个变量的值总是最近一次赋值给它的那个,要么通过显式赋值,要么是通过对块、函数、或者lambda表达式中的局部变量赋值。这个策略称为动态域。

如果一个变量是函数、lambda表达式、或者块中的局部变量,它的值是局部的,但它的其它属性(象由'''declare'''建立的)是全局的。函数'''local'''把一个变量的全部属性变为局部的。

一个函数定义默认是全局的,即便它出现在函数、lambda表达式、或者块中。local(f),f(x):=...产生一个局部函数定义。

'''trace'''(foo)会让Maxima在进入和退出函数foo时打印一条消息。

下面看一些Maxima编程的例子。

'''1. 所有变量都是全局的,除非它们出现在局部变量的声明中。函数、lambda表达式、以及块中可以有局部变量。'''

 (%i1) (x: 42, y:1729, z:foo*bar);
 (%o1)                               bar foo
 (%i2) f(x, y) := x * y * z;
 (%o2)                          f(x, y) := x y z
 (%i3) f(aa, bb);
 (%o3)                            aa bar bb foo
 (%i4) lambda([x, z], (x - z)/y);
                                             x - z
 (%o4)                        lambda([x, z], -----)
                                               y
 (%i5) apply(%, [uu, vv]);
                                     uu - vv
 (%o5)                               -------
                                      1729
 (%i6) block([y, z], y: 65536, [x, y, z]);
 (%o6)                           [42, 65536, z]
 (%i7) 
 
'''2. 一个变量的值总是最近一次赋给它的那个,要么通过显式赋值,要么是通过对块、函数、或者lambda表达式中的局部变量赋值。'''

 (%i1) foo(y) := x - y;
 (%o1)                           foo(y) := x - y
 (%i2) x: 1729;
 (%o2)                                1729
 (%i3) foo(%pi);
 (%o3)                             1729 - %pi
 (%i4) bar(x) := foo(%e);
 (%o4)                          bar(x) := foo(%e)
 (%i5) bar(42);
 (%o5)                               42 - %e
 (%i6)

==Lisp 和Maxima==

构造 ''':lisp''' expr告诉Lisp解释器去计算expr。这个构造可以在命令提示符中被识别,也可以
在'''batch'''而不是'''load'''处理的文件中被识别。

Maxima的符号'''foo'''对应于Lisp中的符号$foo,Lisp中的符号foo对应于Maxima中的符号?'''foo''' 。

''':lisp''' ('''defun''' $foo(a)(. . .)定义了一个计算它的参数的Lisp函数。在Maxima中,这个函数通过'''foo'''(a)被调用。

''':lisp''' ('''defmspec''' $foo(e)(. . .)定义了一个引用它的参数的Lisp函数。在Maxima中,这个函数通过'''foo'''(a)被调用。$foo的参数是('''cdr''' e),而且('''caar''' e)总是$foo自身。

在Lisp中,构造('''mfuncall''' ’$foo a1 . . . an ) 调用Maxima中定义的foo函数。

下面让我们从Maxima进入Lisp,或者反过来说。

'''1. 构造:lisp expr告诉Lisp解释器去计算expr。'''

 (%i1) (aa + bb)^2;
                                            2
 (%o1)                             (bb + aa)
 (%i2) :lisp $%
 
 ((MEXPT SIMP) ((MPLUS SIMP) $AA $BB) 2)

'''2. :lisp (defun $foo(a)(. . .)定义了一个计算它的参数的Lisp函数foo。'''

 (%i1) :lisp (defun $foo (a b) ‘((mplus) ((mtimes) ,a ,b) $%pi))
 $FOO
 (%i1) (p: x + y, q: x - y);
 (%o1)                         x - y
 (%i2) foo (p, q);
 (%o2)                 (x - y) (y + x) + %pi

'''3. :lisp (defmspec $foo(e)(. . .)定义了一个引用它的参数的Lisp函数foo。'''

 (%i1) :lisp(defmspec $bar(e)(let((a(cdr e)))‘((mplus)((mtimes),@a)
 #<CLOSURE LAMBDA(E)(LET((A(CDR E)))‘((MPLUS)((MTIMES),@A)$%PI))>
 (%i1) bar (p, q);
 (%o1)                       p q + %pi
 (%i2) bar (’’p, ’’q);
 (%o2)                       p q + %pi

'''4. 在Lisp中,构造(mfuncall ’$foo a1 . . . an ) 调用Maxima中定义的foo函数。'''

 (%i1) blurf (x) := x^2;
                                              2
 (%o1)                           blurf(x) := x
 (%i2) :lisp (displa (mfuncall '$blurf' ((mplus) $grotz $mumble)))
                 2
 (mumble + grotz)
 NIL