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==微积分== Maxima可以计算导数和积分,按 Taylor 级数展开,求极限和普通的微分方程的精确解。我们从把 符号 f 定义为如下的 x 的函数开始: (%i1) f: x^3 * %e^(k*x) * sin(w*x); 3 k x (%o1) x %e sin(w x) 我们计算 f 对自变量 x 的导数: (%i2) diff (f, x); 3 k x 2 k x (%o2) k x %e sin(w x) + 3 x %e sin(w x) 3 k x + w x %e cos(w x 现在我们求 f 对 x 的不定积分: (%i3) integrate (f, x); 6 3 4 5 2 7 3 (%o3) (((k w + 3 k w + 3 k w + k ) x 6 2 4 4 2 6 2 + (3 w + 3 k w - 3 k w - 3 k ) x 4 3 2 5 4 2 2 4 + (- 18 k w - 12 k w + 6 k ) x - 6 w + 36 k w - 6 k ) k x 7 2 5 4 3 6 3 %e sin(w x) + ((- w - 3 k w - 3 k w - k w) x 5 3 3 5 2 + (6 k w + 12 k w + 6 k w) x 5 2 3 4 3 3 k x + (6 w - 12 k w - 18 k w) x - 24 k w + 24 k w) %e 8 2 6 4 4 6 2 8 cos(w x))/(w + 4 k w + 6 k w + 4 k w + k ) 稍微改变一下语法可以得到定积分: (%i4) integrate (1/x^2, x, 1, inf); (%o4) 1 (%i5) integrate (1/x, x, 0, inf); Integral is divergent -- an error. Quitting. To debug this try debugmode(true); 下面我们使用符号 f (在 %i1中已定义)和双曲正弦函数来定义符号g,并在 x = 0 点展开为泰勒 级数(高达3阶): (%i6) g: f / sinh(k*x)^4; 3 k x x %e sin(w x) (%o6) ----------------- 4 sinh (k x) (%i7) taylor (g, x, 0, 3); 2 3 2 2 3 3 w w x (w k + w ) x (3 w k + w ) x (%o7)/T/ -- + --- - -------------- - ---------------- + . . . 4 3 4 3 k k 6 k 6 k 当 x 趋向于0时 g 的极限计算如下: (%i8) limit (g, x, 0); w (%o8) -- 4 k Maxima也允许导数已非计算形式表示(注意引号): (%i9) 'diff (y, x); dy (%o9) -- dx (%i9) 中的引号操作符表示(不求值)。没有它的话,Maxima将得到0: (%i10) diff (y, x); (%o10) 0 使用引号操作符我们可以写微分方程: (%i11) 'diff (y, x, 2) + 'diff (y, x) + y; 2 d y dy (%o11) --- + -- + y 2 dx dx Maxima的 ode2 函数可以求解一阶和二阶的常微分方程: (%i12) ode2 (%o11, y, x); - x/2 sqrt(3) x sqrt(3) x (%o12) y = %e (%k1 sin(---------) + %k2 cos(---------)) 2 2
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