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===手动求特征向量空间的基底=== 我们在前面介绍过, 使用eigenvectors 指令就可以求出特征向量空间的一组基底。我们再用一次前面的矩阵: (%i13) A: matrix([4,0,1],[2,3,2],[1,0,4]); [ 4 0 1 ] [ ] (%o13) [ 2 3 2 ] [ ] [ 1 0 4 ] 我们已经求出A 的特征值是5 和3 , 我们这里用特征值3 做范例, 看看怎么样能求出对应的特征向量。我们现在要求的就是什么样的向量v , 会满足(A − 3I)v = 0 。这里我们可以用ident 指令可以很容易造出n × n 的单位矩阵。以下我们就把大略的设定做好: (%i14) I: ident(3); [ 1 0 0 ] [ ] (%o14) [ 0 1 0 ] [ ] [ 0 0 1 ] (%i15) v: [x,y,z]; (%o15) [x, y, z] (%i16) u: (A-3*I).v; [ z + x ] [ ] (%o16) [ 2 z + 2 x ] [ ] [ z + x ] 我们现在就是要看什么样的x, y, z 会让u 是零向量。这个例子其实用手解也很容易, 但是我们给Maxima 一个机会。我们要做的就是解一个线性方程组: (%i17) eq1: u[1,1]=0; (%o17) z + x = 0 (%i18) eq2: u[2,1]=0; (%o18) 2 z + 2 x = 0 (%i19) eq3: u[3,1]=0; (%o19) z + x = 0 (%i20) solve([eq1,eq2,eq3],[x,y,z]); Dependent equations eliminated: (2 3) (%o20) [[x = - %r1, y = %r2, z = %r1]] 这看来有点可怕的%r1 和%r2 是什么呢? 原来这只是表示两个参数, 换成我们一般的写法, 我们可能会写成x = −t, y = s, z = t 。至此, 我们已找到特征向量的一般表示式, 如果要找到一组基底也很容易, 我们先令ans 代表前面解出的式子, 再把(%r1, %r2) 代入(1, 0) , (0, 1) 即可: (%i21) ans: %; (%o21) [[x = - %r1, y = %r2, z = %r1]] (%i22) ev(ans, %r1=1, %r2=0); (%o22) [[x = - 1, y = 0, z = 1]] (%i23) ev(ans, %r1=0, %r2=1); (%o23) [[x = 0, y = 1, z = 0]] 我们可能会希望把结果设成两个向量v1 , v2 , 方便以后使用。我们可以再用ev 来做到这样的事: (%i24) v1: ev([x,y,x], %o22); (%o24) [- 1, 0, - 1] (%i25) v2: ev([x,y,x], %o23); (%o25) [0, 1, 0]
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。